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Una funzione è una regola che associa gli elementi di due insiemi. Non tutte le regole, però, sono funzioni: quella che assegna il figlio alla madre, per esempio, lo è; quella che assegna la madre ai figli, invece, non lo è. Il concetto di funzione è alla base dell’Analisi matematica; qui studiamo le sue prime proprietà.
Funzione; grafico di una funzione; dominio, codominio ed immagine di una funzione; funzione composta; funzione iniettiva, suriettiva, biunivoca; funzione inversa.
Funzioni elementari; funzione costante, identità, valore assoluto; funzioni potenza e radice, funzioni reciproco di potenze; funzioni esponenziali e logaritmiche; funzioni trigonometriche e loro inverse.
Definizione di funzione; grafico di una funzione; dominio, codominio ed immagine di una funzione; funzione composta; funzione iniettiva, suriettiva, biunivoca; funzione inversa.
Tracciare il grafico di una funzione è uno degli scopi di questo corso. A volte, lo si può raggiungere con poco sforzo, applicando al grafico di una funzione elementare traslazioni, simmetrie, contrazioni, dilatazioni, ribaltamenti, ecc: parleremo, allora, di trasformazione del grafico della funzione elementare.
Traslazione verticale ed orizzontale del grafico di una funzione; simmetria rispetto all’asse x, simmetria rispetto all’asse y; grafico del valore assoluto di una funzione; contrazioni e dilatazioni orizzontali e verticali del grafico di una funzione.
Trasformazioni del grafico di funzioni generiche e di funzioni potenza, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche; traslazione verticale ed orizzontale del grafico di una funzione; simmetria rispetto all’asse x, simmetria rispetto all’asse y; grafico del valore assoluto di una funzione; contrazioni e dilatazioni orizzontali e verticali del grafico di una funzione.
Cosa accade al valore di una funzione, quando la variabile indipendente diventa molto, molto grande? Oppure molto, molto vicina ad un punto dove la funzione non c’è? Per rispondere serve il concetto di limite, uno strumento fondamentale anche per gli sviluppi successivi del corso.
Limite finito ed infinito di una funzione in un punto, limite finito ed infinito di una funzione a più o meno infinito; limiti destro e sinistro, esistenza del limite; funzione continua in un punto, limiti delle funzioni elementari; operazioni con i limiti, limite di somma, prodotto, quoziente, composizione di funzioni; forme indeterminate, confronto tra infiniti, limiti notevoli.
Definizioni rigorose di limite; teorema dell’unicità del limite; proprietà relative alle operazioni con i limiti; teorema della permanenza del segno, teorema dei carabinieri, applicazioni dei teoremi sui limiti.
Calcolo di limiti; limiti di polinomi e di rapporti tra polinomi; confronto tra infiniti; limiti di funzioni irrazionali, esponenziali e trigonometriche; limiti notevoli.
Una successione è una sequenza infinita di termini “dipendenti” dai numeri naturali; di fatto è un tipo di funzione ed infatti il concetto di limite è simile nei due casi. Il legame tra funzioni e successioni è molto importante ed è alla base, tra l’altro, di alcune importanti proprietà delle funzioni continue.
Successione; limite finito ed infinito di una successione, convergenza, divergenza, esistenza del limite; operazioni con i limiti, limite di somma, prodotto, quoziente di successioni; forme indeterminate, confronto tra infiniti, limiti notevoli; teoremi della permanenza del segno, del confronto, dei carabinieri; criterio del rapporto, dimostrazione di alcuni limiti notevoli.
Teorema di unicità del limite; dimostrazioni delle proprietà relative alle operazioni con i limiti; teoremi della permanenza del segno, del confronto, dei carabinieri; successioni monotone, (strettamente) crescenti, (strettamente) decrescenti, esistenza del limite di una successione monotona; sottosuccessioni, teorema di Bolzano-Weierstrass; legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni; numero e di Nepero come limite di successione; successioni definite per ricorrenza e loro limiti.
Limiti di successioni, successioni polinomiali, confronto tra infiniti, operazioni con i limiti, forme indeterminate, limiti notevoli, criteri di convergenza (confronto, carabinieri, rapporto); limiti di successioni definite per ricorrenza.
Una funzione è continua se il suo grafico si può tracciare “senza staccare la penna dal foglio”. Queste funzioni hanno proprietà notevoli e spesso utili nelle applicazioni: per esempio, si annullano se cambiano di segno ed ammettono sempre massimo e minimo sugli insiemi più comuni.
Funzioni continue, definizione; tipologie di discontinuità, discontinuità di prima, seconda e terza specie; operazioni con le funzioni continue; teorema degli zeri, teorema dei valori intermedi, teorema di Weierstrass.
Dimostrazione del teorema degli zeri; metodo di bisezione per il calcolo delle radici di un’equazione; dimostrazione del teorema di Weierstrass.
Funzioni continue; discontinuità, tipologie di discontinuità; discontinuità di terza specie e prolungamento di funzioni continue.
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