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L’esigenza di calcolare l’area compresa tra il grafico di una funzione e l’asse orizzontale, porta al concetto di integrale. Per le funzioni continue, il calcolo dell’integrale si lega a quello della derivata e ad alcune tecniche e “trucchi del mestiere” che vengono illustrati soprattutto negli esercizi.
Area sottesa al grafico di una funzione; integrali definiti di funzioni continue; proprietà, teorema della media, teorema fondamentale del calcolo integrale, integrali indefiniti, primitive; integrali indefiniti immediati, integrazione per parti, integrazione per sostituzione.
Definizione di funzione integrabile, definizione di integrale definito, integrali inferiore e superiore e loro proprietà; criterio di integrabilità; funzioni uniformemente continue, teorema di Cantor; integrabilità delle funzioni continue, integrabilità delle funzioni monotone.
Integrali di funzioni elementari; primitive di funzioni composte; integrali per sostituzione, integrali per parti; integrali di funzioni razionali fratte (esempi sulle varie casistiche possibili).
Quando il dominio di integrazione o la funzione da integrare sono illimitati, l’integrale si dice “improprio”. Il suo calcolo richiede quello di un integrale “proprio” e di un limite, ma se interessa soltanto se l’integrale è finito oppure no, possono bastare i criteri di convergenza presentati in questo modulo.
Integrale improprio; convergenza e divergenza di un integrale improprio; criterio del confronto, criterio del confronto asintotico; calcolo di aree e volumi tramite integrali, solidi di rotazione.
Il concetto di serie si lega in vario modo a quelli di successione e di integrale. Una serie è una somma di infiniti termini, il cui “risultato”, se determinabile, può essere un numero o infinito. Qui – insieme ad alcune serie importanti in Matematica, come la geometrica e l’armonica – vediamo come distinguere i due casi.
Serie numeriche; carattere di una serie, serie convergente, divergente, indeterminata; condizione necessaria per la convergenza di una serie; serie a termini non negativi; confronto tra serie e integrali impropri, criterio del confronto, del confronto asintotico, del rapporto, della radice.
Serie numeriche; dimostrazione del criterio del confronto, del confronto asintotico, del rapporto, della radice; convergenza assoluta e relativo criterio di convergenza; criterio di convergenza di Leibniz per serie a termini di segno alterno.
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