Gli integrali impropri (o generalizzati) di funzioni continue
Vuoi sapere tutto sugli integrali impropri di funzioni continue ma anche sul calcolo dei volumi dei solidi di rotazione tramite gli integrali? A fine pagina trovi il link al formulario completo!
Gli integrali impropri su intervalli limitati
Sia f(x) una funzione continua su un intervallo limitato, di estremi a e b, non definita in uno di tali estremi. L’integrale di f(x) esteso all’intervallo si definisce allora nel modo seguente:
- Intervallo [a,b) – aperto a destra – ed f(x) non definita in b: l’integrale improprio di f(x) in [a,b) è il limite per h che tende a 0 da destra (cioè da valori positivi) dell’integrale definito di f(x) tra a e b-h
- Intervallo (a,b] – aperto a sinistra – ed f(x) non definita in a: l’integrale improprio di f(x) in (a,b] è il limite per h che tende a 0 da destra (cioè da valori positivi) dell’integrale definito di f(x) tra a+h e b
Gli integrali impropri su intervalli illimitati
Sia f(x) una funzione continua su un intervallo illimitato a destra o a sinistra. L’integrale di f(x) esteso all’intervallo si definisce allora nel modo seguente:
- Intervallo [a, +∞): l’integrale improprio di f(x) in [a,+∞) è il limite per b che tende a +∞ dell’integrale definito di f(x) tra a e b
- Intervallo (-∞, b]: l’integrale improprio di f(x) in (-∞,b] è il limite per a che tende a -∞ dell’integrale definito di f(x) tra a e b
Gli integrali impropri a primo membro nelle precedenti definizioni esistono se esistono i limiti a secondo membro; se uno di tali limiti è finito, il corrispondente integrale improprio si dice convergente; si dice invece divergente se il limite è infinito. Si può dimostrare che se f(x), oltre che continua, è anche non negativa, i suoi integrali impropri definiti nelle precedenti formule esistono, cioè o convergono o divergono; tra i più importanti criteri per stabilire la convergenza o divergenza vi sono quello del confronto e del confronto asintotico.
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