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Serie numeriche

La serie geometrica e la serie armonica generalizzata

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La serie geometrica

La serie geometrica è la somma infinita delle potenze naturali di un numero reale q, detto ragione della serie. E’ importante sia perché interviene in molti modelli matematici, sia perché spesso la si utilizza come maggiorante o minorante quando si applica il criterio del confronto per serie numeriche. Il suo comportamento è noto per ogni valore di q:

Serie geometricaIn parole: la serie geometrica converge se -1<q<1 ed in tal caso la sua somma è 1/(1-q); diverge a +∞ per q≥1 ed è indeterminata se q≤-1. La dimostrazione di questi risultati si basa sulla formula che dà la somma parziale n-esima della serie geometrica, Sn, in funzione di q e di n (per q≠1):

S= q0+q1+q2+…+q= (1-qn+1)/(1-q)

Questa formula si può provare in vari modi, ad esempio per induzione oppure, in modo meno rigoroso ma più intuitivo, così:

S= q0+q1+q2+…+qn    ⇒    qS= q1+q2+q3+…+qn+qn+1    ⇒    Sn-qS= q0-qn+1    ⇒    (1-q)Sn = 1-qn+1    ⇒    S= (1-qn+1)/(1-q)

Prendendo il limite per n che tende a +∞ di Sn è facile desumere il comportamento della serie geometrica; nota, in particolare, che per q=-1, Sn oscilla indefinitamente tra i valori 0 ed 1, mentre per q<-1, Sn oscilla tra valori positivi e negativi, crescenti in modulo.

La serie armonica generalizzata

La serie armonica generalizzata è la somma infinita delle potenze α-esime dei reciproci dei numeri naturali; il parametro reale positivo α è detto ordine della serie; per α=1 si parla semplicemente di serie armonica. E’ importante per ragioni analoghe a quelle evidenziate per la serie geometrica; il suo comportamento è noto per ogni valore di α:

Serie armonica generalizzataQuesto risultato si può dimostrare in vari modi; ad esempio, per il criterio di Cauchy, la serie armonica generalizzata  – di termine generale, diciamo, an –  ha lo stesso comportamento della serie di termine generale a2n = [1/2(α-1)]n; ma questa è una serie geometrica di ragione 1/2(α-1), che diverge quando la sua ragione è maggiore o uguale ad 1, il che accade per 0<α≤1. In tutti gli altri casi la serie armonica generalizzata converge, perché essendo una serie a termini positivi, non può mai essere indeterminata. In caso di convergenza, non è banale determinare il valore della somma della serie; per α=2 si può dimostrare che la somma vale π2/6.

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