Variabilità, concentrazione e forma

La varianza e le sue principali proprietà

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La definizione di varianza

Dato un carattere quantitativo (o variabile quantitativa) X, indicando con M₁[…] la media aritmetica della variabile in parentesi, con x_i l’osservazione o modalità i-esima di X, con n_i la frequenza di x_i, con k il numero di modalità di X e con N il numero di unità statistiche osservate, si ha:

• Formula generale:

• Formula per una serie di osservazioni:

• Formula per una distribuzione di frequenza:

Le proprietà della varianza

Alcune delle principali proprietà sono:

• La varianza di aX+b è pari a quella di X moltiplicata per il quadrato di a [a e b numeri reali]:

• La varianza totale V è pari a quella within (o interna ai gruppi, V_w) più quella between (o tra i gruppi, V_b) [N è il numero di unità statistiche; k il numero di gruppi; n_i la numerosità del gruppo i-esimo; V⁽ⁱ⁾ la varianza del gruppo i-esimo; M₁⁽ⁱ⁾ la media aritmetica del gruppo i-esimo; M₁ la media aritmetica generale]:

• La varianza è pari alla differenza tra il quadrato della media quadratica [M₂] ed il quadrato della media aritmetica [M₁]:

• Se la distribuzione di frequenza di un carattere (o variabile) è in classi di ampiezza h, con distribuzione intraclasse uniforme, la varianza [V_vera] è pari a quella calcolata sui valori centrali di classe [V_c] più la correzione h²/12:

• Se la distribuzione di frequenza di un carattere (o variabile) osservato su un gran numero di unità statistiche è di forma campanulare ed è in classi di ampiezza h, la varianza [V_vera] è circa pari a quella calcolata sui valori centrali di classe [V_c] meno la correzione h²/12 (correzione di Sheppard):

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