La variabile casuale Normale o Gaussiana ed il teorema limite centrale
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La variabile casuale Normale o Gaussiana
Una variabile casuale X si dice Normale o Gaussiana se ha le seguenti caratteristiche:
- Il supporto di X, cioè l’insieme dei valori che X può assumere, coincide con la retta reale:
- La funzione di densità di probabilità di X vale:
dove μ e σ>0 sono parametri reali. Il grafico di fX(x) è noto come curva Normale o curva Gaussiana o semplicemente Gaussiana, di parametri μ e σ: è una curva campanulare simmetrica rispetto a μ, che è l’unico punto di massimo; è concava in (μ-σ, μ+σ), convessa altrove e tende a 0 nelle code, ovvero per x che tende a ±∞; a parità di σ, aumenti di μ traslano la curva verso destra; a parità di μ, aumenti di σ riducono l’area (= probabilità) intorno a μ ed aumentano l’area nelle code.
La funzione di ripartizione di X si ottiene integrando la densità – FX(x) = ∫ (-∞,x] fX(t)dt – secondo la regola generale, ma non ammette una forma analitica esplicita.
- Il valore atteso e la varianza di X valgono:
dal che segue che i parametri μ e σ hanno il significato, rispettivamente, di media e deviazione standard di X.
- I coefficienti di asimmetria e di curtosi valgono:
X è simmetrica; Kurt[X] = 3 è il valore di riferimento per giudicare la curtosi di una variabile casuale Y qualsiasi, che in effetti misura il minore o maggiore appuntimento (ed il maggiore o minore ispessimento delle code) della densità di Y rispetto alla Gaussiana; nel primo caso sarà Kurt[Y]<3 ed Y si dirà platicurtica o iponormale, nel secondo sarà Kurt[Y]>3 ed Y si dirà leptocurtica o ipernormale.
Per indicare che X è una variabile casuale Normale o Gaussiana, si utilizzano spesso notazioni come X∼N(μ,σ) o X∼N(μ,σ2) o simili (nota: quando i parametri sono numeri, è importante specificare se il secondo rappresenta la varianza o la deviazione standard di X).
- se X∼N(μ,σ) e si definisce Z=(X-μ)/σ, allora Z∼N(0,1); questa trasformazione è nota come standardizzazione di X e la variabile casuale Z dicesi Normale o Gaussiana standard; permette di ricondurre il calcolo di una qualsiasi probabilità associata ad X (quindi, dipendente dai parametri μ e σ) al calcolo di probabilità associate a Z, che non dipendono da alcun parametro e sono disponibili in apposite tavole statistiche. La procedura di calcolo è la seguente:
dove x1 e x2 sono numeri reali con x1<x2 ed FZ(x) è la funzione di ripartizione di Z, che è stata appunto ampiamente tabulata; z1 e z2 si dicono scarti standardizzati di x1 e x2; nota che se x1=-∞, allora z1=-∞ e se x2=+∞, allora z2=+∞.
Il teorema limite centrale
La variabile Normale o Gaussiana è centrale in Probabilità come in Statistica, per varie ragioni; una delle principali è che si presta bene a modellare il comportamento probabilistico di molti fenomeni fisici, biologici, sociali, economici, ecc. e questo si spiega, in buona parte, con una sua proprietà espressa nel celebre teorema limite centrale, che qui enunciamo nella sua versione più semplice (v. formulario per estensioni e conseguenze).
Sia (Xk) k=1,2,… una successione di variabili casuali indipendenti e sia Z∼N(0,1); supponi (ipotesi di Lindeberg-Lévy) che queste variabili siano identicamente distribuite, cioè abbiano tutte la stessa media μ e la stessa varianza finita σ2<∞. Vale allora il seguente teorema:
In sostanza, dalla successione assegnata si ricava la successione delle somme standardizzate, o delle medie standardizzate, delle prime j variabili (j=1,2,…), la quale converge in distribuzione alla Normale standard; in parole povere, ciò significa che la funzione di ripartizione della somma/media standardizzata, all’aumentare di j, tende a ricalcare la curva Gaussiana standardizzata.
Nota che il risultato non dipende dalla funzione di ripartizione delle variabili di partenza. Pertanto, se un dato fenomeno è il risultato di una somma o di una media di tanti fattori indipendenti (e con la stessa distribuzione, ma questa ipotesi si può eliminare o almeno attenuare), la sua struttura probabilistica sarà approssimativamente Normale, a prescindere dalla struttura probabilistica dei singoli fattori che lo determinano.
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