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Probabilità e variabili casuali II

L’aggiornamento della probabilità delle cause tramite il teorema di Bayes

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Le formule della probabilità condizionata e della probabilità totale

Siano: S lo spazio campione associato ad un esperimento casuale, cioè l’insieme dei possibili esiti dell’esperimento; A(S) una σ-algebra di eventi legati all’esperimento; P una misura di probabilità su A(S), cioè una funzione che ad ogni evento in A(S) associa una probabilità, rispettando gli assiomi del Calcolo; E ed F eventi di A(S). Allora:

  • La probabilità di E condizionata ad F è la probabilità che si verifichino sia E che F, divisa per la probabilità che si verifichi F (si assume P(F)>0):

Probabilità condizionata

  • Direttamente dalla definizione di probabilità condizionata segue la formula della probabilità composta (si assume P(E)>0 e P(F)>0):

Formula della probabilità composta

  • Se gli eventi F1, F2,…, Fn hanno tutti probabilità positiva e formano una partizione di S (cioè almeno uno di tali eventi si verificherà senz’altro e non più di uno), vale la formula della probabilità totale:

Formula della probabilità totaleQuesto risultato si dimostra scrivendo P(E) = P(E∩S) = P[E∩(∪Fi)] = P[∪(E∩Fi)] = ΣP(E∩Fi) ed applicando agli addendi nell’ultima sommatoria la formula della probabilità composta.

Il teorema di Bayes

Nelle stesse ipotesi che soggiacciono alla formula della probabilità totale ed assumendo, inoltre, che E sia un evento con probabilità positiva, vale la seguente formula di Bayes:

Teorema di Bayes - Formula di BayesLa prima uguaglianza segue dalla definizione di probabilità condizionata; la seconda segue, per il numeratore, dalla formula della probabilità composta e per il denominatore dalla formula della probabilità totale. Nell’ambito del teorema di Bayes, le probabilità che intervengono nella formula prendono nomi specifici:

  • P(Fi) è la probabilità a priori di Fi
  • P(Fi|E) è la probabilità a posteriori di Fi
  • P(E|Fi) è la verosimiglianza di E (relativamente ad Fi)

L’interpretazione classica del teorema di Bayes è la seguente: posto che E sia un effetto determinabile da una ed una sola di n possibili cause F1, F2,…, Fn, la probabilità che si sia manifestata proprio la causa Fi si può aggiornare, dopo aver osservato E, moltiplicando la sua probabilità prima di osservare E, cioè P(Fi), per la probabilità che E si manifesti in presenza di quella causa, cioè P(E|Fi). La sommatoria a denominatore della formula è un fattore di scala che riproporziona il numeratore in modo che le probabilità a posteriori diano somma 1.

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                   Videolezioni                    Probabilità e variabili casuali (II parte)


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