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Variabilità, concentrazione e forma

La varianza e le sue principali proprietà

Vuoi sapere tutto sulla varianza, sulle sue proprietà, su altri indici di variabilità, ma anche sugli indici di concentrazione e di forma? A fine pagina trovi il link al formulario completo!

La definizione di varianza

Dato un carattere quantitativo (o variabile quantitativa) X, indicando con M1[…] la media aritmetica della variabile in parentesi, con xi l’osservazione o modalità i-esima di X, con ni la frequenza di xi, con k il numero di modalità di X e con N il numero di unità statistiche osservate, si ha:

  • Formula generale:

Varianza - Formula generale

  • Formula per una serie di osservazioni:

Varianza - Formula per una serie di osservazioni

  • Formula per una distribuzione di frequenza:

Varianza - Formula per una distribuzione di frequenza

Le proprietà della varianza

Alcune delle principali proprietà sono:

  • La varianza di aX+b è pari a quella di X moltiplicata per il quadrato di a [a e b numeri reali]:

Varianza di una funzione lineare affine di X

  • La varianza totale V è pari a quella within (o interna ai gruppi, Vw) più quella between (o tra i gruppi, Vb) [N è il numero di unità statistiche; k il numero di gruppi; ni la numerosità del gruppo i-esimo; V(i) la varianza del gruppo i-esimo; M1(i) la media aritmetica del gruppo i-esimo; M1 la media aritmetica generale]:

Scomposizione della varianza totale tra varianza interna e tra i gruppi

  • La varianza è pari alla differenza tra il quadrato della media quadratica [M2] ed il quadrato della media aritmetica [M1]:

Varianza in funzione della media quadratica ed aritmentica

  • Se la distribuzione di frequenza di un carattere (o variabile) è in classi di ampiezza h, con distribuzione intraclasse uniforme, la varianza [Vvera] è pari a quella calcolata sui valori centrali di classe [Vc] più la correzione h2/12:

Varianza corretta

  • Se la distribuzione di frequenza di un carattere (o variabile) osservato su un gran numero di unità statistiche è di forma campanulare ed è in classi di ampiezza h, la varianza [Vvera] è circa pari a quella calcolata sui valori centrali di classe [Vc] meno la correzione h2/12 (correzione di Sheppard):

Varianza corretta (correzione di Sheppard)

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                   Videolezioni                    Variabilità, concentrazione e forma


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