I quantili più utilizzati: quartili, decili e percentili
Vuoi sapere tutto sui quartili, i decili, i percentili e più in generale sui quantili di un insieme di dati, sulle loro proprietà e le procedure di calcolo per caratteri discreti e continui? A fine pagina trovi il link al formulario completo!
I quantili di una serie di osservazioni
Sia X un carattere (o variabile) ordinabile osservato su N unità statistiche e siano x1, x2,…, xN le osservazioni disposte in ordine crescente. Supponi di voler suddividere i dati ordinati in α gruppi, ognuno dei quali contenga (circa) lo stesso numero di osservazioni; gli α-1 numeri che consentono tale suddivisione sono i quantili di ordine α di X. Ad esempio, puoi suddividere i dati in α=4 parti mediante 3 quantili di ordine 4, detti anche quartili; oppure in α=10 parti mediante 9 quantili di ordine 10, detti anche decili; o ancora in α=100 parti mediante 99 quantili di ordine 100, detti anche percentili; e così via.
Sia Qα,β il β-esimo quantile di ordine α (1≤β≤α-1); per calcolare Qα,β si procede così:
Ovvero:
- si calcolano k(α,β) = Nβ/α e poi k*(α,β) = min {n | n ≥ k(α,β)} (k*(α,β) è il numero di osservazioni che devono rimanere a sinistra di Qα,β; coincide con k(α,β) se quest’ultimo è intero, altrimenti è pari all’intero più piccolo tra quelli maggiori di k(α,β))
- se k(α,β) < k*(α,β) (cioè se non è intero), Qα,βè l’osservazione di posto k*(α,β) nella serie ordinata delle osservazioni
- se k(α,β) = k*(α,β) (cioè se è intero), Qα,β è la media dell’osservazione di posto k*(α,β) e di quella successiva, nella serie ordinata delle osservazioni
Il numero Qα,β divide le osservazioni ordinate in due gruppi: uno formato dal (β/α)100% circa delle osservazioni più piccole di Qα,β, l’altro formato dal (1-β/α)100% circa delle osservazioni più grandi di Qα,β. Nota che per α=4 e β=2, la definizione degenera in quella classica di mediana.
I quantili della distribuzione di frequenza di un carattere con modalità in classi
Se X è un carattere continuo, le N osservazioni sono organizzate in k classi e si assume valida l’ipotesi dell’istogramma, Qα,β si può calcolare con la formula seguente:
dove i(α,β) è l’indice della classe quantile, cioè quella dove cade l’osservazione k*(α,β); x si riferisce agli estremi di classe, n alla frequenza di classe ed n_cappello alla frequenza cumulata di classe.
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