La variabile casuale Binomiale conta i “successi” in n prove indipendenti
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La variabile casuale di Bernoulli
Considera la prova o esperimento casuale che consiste nel verificarsi (“successo”) o meno (“insuccesso”) di un evento incerto E, in determinate condizioni. Sia p la probabilità di successo, p = P(E), secondo una misura di probabilità P; per evitare casi degeneri, supponi sia 0<p<1. Immagina di codificare il successo con l’1 e l’insuccesso con lo 0; allora questa prova – detta di Bernoulli – è descritta dalla variabile casuale di Bernoulli, X, avente le seguenti caratteristiche:
- Il supporto di X, cioè l’insieme dei valori che X può assumere, è formato dai numeri 0 ed 1:
- La funzione di probabilità di X assegna all’1 la probabilità di successo p ed allo 0 la probabilità di insuccesso 1-p:
- La funzione di ripartizione di X è nulla prima dello 0, vale 1 dopo l’1 e vale 1-p tra 0 ed 1:
- Il valore atteso e la varianza di X valgono:
- I coefficienti di asimmetria e di curtosi di X valgono:
così che X risulta asimmetrica per p≠1/2, leptocurtica per valori di p vicini agli estremi 0 ed 1, platicurtica per valori di p vicini ad 1/2.
Per indicare che X è una variabile casuale di Bernoulli di parametro p, si utilizzano spesso notazioni come X∼Ber(p) o simili.
Le variabili casuali Binomiale e Binomiale relativa
Considera la prova o esperimento casuale che consiste nel contare quante volte un evento incerto E si è verificato (“successo”) in n sottoprove di Bernoulli indipendenti, in ognuna delle quali la probabilità di successo è p = P(E); sempre per evitare casi degeneri, continua a supporre 0<p<1. L’aggettivo “indipendenti” allude al fatto che il risultato di ciascuna sottoprova, una volta noto, non modifica la probabilità di successo nelle altre sottoprove. L’esperimento in questione è descritto dalla variabile casuale Binomiale, X, avente le seguenti caratteristiche:
- Il supporto di X, cioè l’insieme dei valori che X può assumere, è formato dai numeri interi tra 0 ed n:
- La funzione di probabilità di X vale:
Il numero pi(1-p)n-i esprime la probabilità di una specifica sequenza di i successi ed n-i insuccessi; il numero Cn,i = n!/[i!(n-i)!] è il coefficiente binomiale n su i e conta il numero di possibili sequenze con i successi ed n-i insuccessi; pertanto, fX(i) è la probabilità di i successi (in ordine qualsiasi) in n prove. La funzione di ripartizione di X si ottiene per somma della funzione di probabilità, FX(x) = Σi ≤ x fX(i), secondo la regola generale, ma non ammette una forma analitica esplicita.
- Il valore atteso e la varianza di X valgono:
- I coefficienti di asimmetria e di curtosi di X valgono:
così che X risulta asimmetrica per p≠1/2, leptocurtica per valori di p vicini agli estremi 0 ed 1, platicurtica per valori di p vicini ad 1/2.
Per indicare che X è una variabile casuale Binomiale di parametri n e p, si utilizzano spesso notazioni come X∼Bin(n,p) o simili.
Molti di questi ed altri risultati (v. formulario) si deducono abbastanza facilmente dal fatto che X si può esprimere come somma di n variabili di Bernoulli – Xi∼Ber(p) i=1,2,.., n – ciascuna delle quali descrive una delle sottoprove; l’indipendenza delle sottoprove si traduce nell’indipendenza delle variabili Xi; in sintesi, quindi, la Binomiale si può riguardare come somma di n variabili di Bernoulli di parametro p indipendenti.
Se X∼Bin(n,p), la variabile casuale Y=X/n si chiama Binomiale relativa ed esprime la quota di successi nelle n sottoprove indipendenti. Il suo supporto è formato dalle frazioni 0/n, 1/n,…,n/n; la funzione di probabilità è fY(i/n) = fX(i); risulta inoltre E[Y] = p e Var[Y]=p(1-p)/n, mentre i coefficienti di asimmetria e di curtosi coincidono con quelli di X.
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