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Soluzione #4: le serie numeriche

Quando l’ordine conta: una corsa tra serie numeriche non assolutamente convergenti

Per rivedere il testo del problema clicca qui. Su MOV, nelle nostre videolezioni, abbiamo discusso tutti gli strumenti sulle serie numeriche necessari a risolvere questo problema; in particolare, occorre conoscere la serie armonica, il criterio di Leibniz, il concetto di convergenza assoluta e il teorema di Riemann sulle serie numeriche.

                   Videolezioni                    Serie Numeriche

LA SOLUZIONE IN SINTESI

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LA SOLUZIONE IN DETTAGLIO

Somme infinite: le serie numeriche

Il quesito ruota intorno al concetto matematico che estende quello di somma finita: le serie numeriche infatti sono somme infinite. A prima vista, il passaggio da un numero finito di addendi ad uno infinito può sembrare banale; in realtà, non lo è affatto. Per cominciare, il concetto di risultato della somma cambia. Nelle somme finite, il risultato è sempre un numero che riflette in modo esatto l’operazione eseguita. Nelle serie numeriche non è così: il risultato può essere un numero al quale ci si avvicina sempre di più man mano che si esegue l’operazione, senza peraltro mai raggiungerlo (serie numeriche convergenti); oppure può essere infinito, se man mano che si esegue l’operazione si finisce per superare qualsiasi soglia fissata (serie numeriche divergenti). Le complicazioni però non finiscono qua. Ci sono serie numeriche per le quali, eseguendo l’operazione, ci si accorge che il risultato parziale non tende verso alcun numero, né diventa definitivamente grande, sicché non esiste nulla che si possa interpretare come risultato finale (serie numeriche indeterminate). E poi ci sono serie numeriche il cui comportamento può cambiare a seconda dell’ordine degli addendi, ovvero a seconda di come si esegue l’operazione. E’ questo forse l’aspetto più sorprendente delle serie numeriche ed è esattamente il tipo di problema nel quale si sono imbattuti Dudy e Susy!

Il teorema di Riemann sulle serie numeriche

Come spiega Profy, se i robot ricevono i numeri naturali in ordine crescente, le posizioni finali possono essere descritte da due serie numeriche, con la convenzione di denotare i passi avanti col segno “+” e quelli indietro col segno “-“. Il punto d’arrivo del robot di Susy è il risultato di una serie armonica alternata, che converge per il criterio di Liebniz; si può anche provare che il valore di convergenza è log2. Questa serie però non è assolutamente convergente, cioè la serie dei suoi termini in valore assoluto, non converge; detta serie infatti è armonica di ordine 1 e perciò diverge a +∞.

Per le serie numeriche non assolutamente convergenti, vale un sorprendente teorema (dovuto a Riemann): per ogni numero reale R, puoi sempre cambiare l’ordine degli addendi (tecnicamente, trovare un riordinamento della serie) in modo che la serie riordinata converga ad R. Anzi, puoi perfino fare in modo che la serie riordinata diverga a +∞ o -∞ o che risulti indeterminata!

Per farsi un’idea della validità di questo teorema, esplicita la serie armonica alternata:

Serie numeriche - Serie armonica alternata
Ora moltiplica per 1/2 tutti gli addendi; ottieni evidentemente:

Serie numeriche - Sviluppo da una serie armonica alternata
Adesso somma termine a termine le due serie numeriche appena scritte:

Serie numeriche - Serie armonica alternata riordinata
Beh, la serie a primo membro è formata dagli stessi addendi della serie originaria: è un suo riordinamento, ottenuto alternando due frazioni con segno “+” con una frazione con segno “-“: in pratica il robot di Susy compie gli stessi passi, solo che stavolta ne alterna due avanti ed uno indietro; così facendo però, il suo punto d’arrivo è (3/2)log2 e non più log2!

La serie di Dudy è esente da questo problema, perché è assolutamente convergente: la serie dei valori assoluti è infatti armonica di ordine 2 e dunque converge, come si dimostra nella videolezione di Teoria di base già richiamata. Questo assicura che la serie di Dudy converga ed il suo valore di convergenza è “robusto” rispetto a qualsiasi riordinamento (ed è pari a π2/6). Siccome Dudy e Susy non conoscono l’ordine con cui i robot ricevono i numeri naturali e quindi l’ordine dei loro passi, non si può stabilire quale dei due vincerà la gara.

Mai fidarsi dell’intuito all’infinito!

Chiudiamo filosofeggiando. Il problema è interessante perché fa riflettere sui limiti dell’intuizione umana. Una verità che impariamo già alla scuola elementare è nota, tecnicamente, come “proprietà commutativa della somma” e la si apprende quasi fosse una filastrocca: “se in una somma si scambiano gli addendi, il risultato non cambia”. È un fatto così intuitivo che non sembra possibile metterlo in discussione. Invece, se gli addendi sono infiniti, questa “verità” vacilla: nelle serie numeriche, la proprietà commutativa può non valere! L’ordine in cui si sommano gli addendi può determinare il risultato della serie. La serie di Susy ne è un esempio. Più in generale, il passaggio dal calcolo “finito” al calcolo “infinito” fa sorgere una lunga serie di verità matematicamente ineccepibili che però sfuggono all’intuizione dei più. Morale: occhio a fidarsi dell’intuito all’infinito.

PROBLEMA #3  —  SOLUZIONE #3

PROBLEMA #5  —  SOLUZIONE #5


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