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Soluzione #5: il Calcolo Combinatorio

Il premio improbabile: l’intuito tradisce, il Calcolo Combinatorio no!

Per rivedere il testo del problema clicca qui. Su MOV, nelle nostre videolezioni, abbiamo discusso sia la definizione “classica” di probabilità, sia gli strumenti di Calcolo Combinatorio, necessari a risolvere questo problema (in particolare, occorre sapere cosa sono le disposizioni semplici e con ripetizione e come si calcola il loro numero).

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LA SOLUZIONE IN SINTESI

Gioca con MOV - Il premio ferie 1 - Calcolo CombinatorioGioca con MOV - Il premio ferie 2 - Calcolo CombinatorioGioca con MOV - Il premio ferie 3 - Calcolo CombinatorioGioca con MOV - Il premio ferie 4 - Calcolo CombinatorioLA SOLUZIONE IN DETTAGLIO

Il problema delle coincidenze

Strutturalmente, il quesito è identico al “problema dei compleanni” esaminato in una precedente nota (clicca qui): in entrambi i casi, occorre calcolare la probabilità che vi siano (o non vi siano) almeno due coincidenze in un gruppo di soggetti, ognuno dei quali ha una caratteristica estratta casualmente da un certo insieme (qui, i 365 giorni dell’anno). Si possono formulare diversi quesiti di Calcolo delle Probabilità con questa struttura, tutti classificabili come “problema delle coincidenze”. Vediamo, nel fumetto, la soluzione proposta da Movy agli amici Dudy e Susy.

Quando l’intuito tradisce

Come si sottolinea nel primo box, la convinzione di Dudy e Susy di avere buone chance di ottenere il premio-ferie è in un certo senso “naturale”. Nel reparto di Susy, il rapporto tra numero di lavoratori e numero di opzioni estraibili è molto piccolo: 40/365, ossia l’11% circa. È questo che sembra legittimare l’aspettativa che la probabilità di giorni coincidenti sia piuttosto bassa; ma il Calcolo delle Probabilità riserva sorprese e, a conti fatti, quella probabilità è quasi il 90%! Nel reparto di Dudy, il rapporto lavoratori/giorni è un più alto (70/365≅19%), ma certo non tale da attendersi che la probabilità di giorni coincidenti sia quasi il 100%: invece, è proprio così.

Cos’è che tradisce l’intuito di Susy e Dudy? Forse confondono la probabilità di giorni coincidenti con quella di giorno coincidente con il proprio. La seconda, in effetti, è bassa come l’intuizione suggerisce: tralascio i dettagli ma, con gli stessi strumenti di Calcolo Combinatorio utilizzati da Movy, si vede che, nel caso di Susy, la probabilità che un lavoratore del reparto estragga il suo stesso giorno è circa il 10%; nel caso di Dudy, invece, supera di poco il 17%. Quando però si sposta l’ottica da se stessi al reparto, la probabilità esplode; basti pensare – nel caso di Susy – che tra tutte le sequenze di 40 giorni dove il suo giorno compare una sola volta, ce ne sono moltissime dove 2 o più giorni (diversi dal suo) coincidono; tali sequenze entrano nel numeratore della frazione che dà la probabilità di giorni coincidenti, che quindi risulterà più alta, molto più alta!

Il Calcolo Combinatorio: è lecito usarlo qui?

Chiudo con un’annotazione tecnica. L’utilizzo del Calcolo Combinatorio qui è lecito perché le sequenze di giorni estraibili dai lavoratori (di ogni reparto) sono equiprobabili; il che, a sua volta, dipende dal fatto che i giorni dell’anno hanno tutti la stessa probabilità di essere estratti. Nel problema dei compleanni quest’ipotesi non trova riscontro nella realtà e quindi lì la probabilità calcolata, nel migliore dei casi, approssima quella vera. Nel problema del premio-ferie, l’equiprobabilità dei giorni dell’anno è plausibile: basta predisporre un meccanismo di estrazione che assegni a ciascun giorno probabilità 1/365 di uscire (banalmente, un’urna con palline numerate da 1 a 365, ben mescolate). Nel testo del problema (box 2), l’espressione “estrarre a caso” richiamava appunto l’equiprobabilità dei giorni dell’anno. Nel linguaggio del Calcolo delle Probabilità infatti, per “estrazione casuale” – senza ulteriori qualifiche – si intende non già una modalità di estrazione genericamente aleatoria (non deterministica), bensì un meccanismo che garantisce a tutti i possibili risultati la stessa probabilità di verificarsi.

PROBLEMA #4  —  SOLUZIONE #4

PROBLEMA #6  —  SOLUZIONE #6


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