La continuità dei numeri: l’insieme dei numeri reali
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Alcune possibili definizioni dei numeri reali
I numeri reali si possono definire in più modi. Un primo approccio è quello per completamento: una volta definiti i numeri naturali (cioè quelli “per contare”), i numeri interi (cioè i naturali ed i naturali negativi) ed i numeri razionali (cioè le “frazioni”, rapporti tra numeri interi), si prova che ad ogni frazione corrisponde un numero decimale finito o infinito periodico e che, tuttavia, esistono anche numeri decimali infiniti non periodici, detti irrazionali (per es. il numero X>0 che risolve l’equazione X2 = 2, cioè √2, è irrazionale); a questo punto si definisce l’insieme dei numeri reali come unione degli insiemi dei numeri razionali ed irrazionali.
Un approccio assiomatico alla definizione dei numeri reali è stato proposto da Hilbert. In base a questo approccio, l’insieme dei numeri reali è l’insieme numerico R che soddisfa i seguenti assiomi:
- Assiomi relativi alle operazioni:
- Assiomi relativi all’ordinamento:
- Assioma di completezza (o di continuità o di Dedekind):
Un altro approccio, di tipo costruttivo, fa uso delle così dette sezioni (di Dedekind) di numeri razionali: si tratta di coppie (A,B) di insiemi che formano una partizione dell’insieme dei razionali, con A privo del massimo e tale che ogni suo elemento sia strettamente minore di ogni elemento di B. Data una sezione (A,B), un suo elemento separatore è un numero x non minore degli elementi di A e non maggiore degli elementi di B. Si dimostra che ogni sezione ammette uno ed un solo elemento separatore (che non è necessariamente un numero razionale!). Infine, si definisce l’insieme dei numeri reali come l’insieme degli elementi separatori di tutte le possibili sezioni di numeri razionali; si può dimostrare che tale insieme coincide con quelli ottenuti con gli altri metodi.
Sono possibili anche altri approcci costruttivi alla definizione dei numeri reali, per esempio quello basato sulle successioni di Cauchy.
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