Risolvere x2+2=0: l’insieme dei numeri complessi
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I numeri complessi in forma cartesiana
L’esistenza di equazioni polinomiali – anche molto semplici, come ad esempio X2+2=0 – che non hanno soluzione tra i numeri reali, motiva l’introduzione dei numeri complessi. Il punto di partenza è il concetto di unità immaginaria i, definita come soluzione dell’equazione i2 = -1 ed indicata con:
Si attribuisce così una connotazione numerica alla radice di -1, che nel campo reale non è definita. Ora, se a e b sono numeri reali, z = a + ib si dirà numero complesso di parte reale a e di parte immaginaria b. Quella appena scritta si dice forma cartesiana di z; è possibile e molto utile scrivere z anche in una forma diversa, detta trigonometrica. L’insieme dei numeri complessi sarà dunque:
Evidentemente, l’unità immaginaria è il numero complesso di parte reale 0 e parte immaginaria 1. Su questi numeri sono definite le comuni operazioni di somma, prodotto e quoziente:
- Somma di a+ib e a’+ib’:
- Prodotto di a+ib e a’+ib’:
- Quoziente di a+ib e a’+ib’ (a≠0 e/o b≠0):
In sostanza, si applicano le note regole di calcolo tra numeri reali ricordando, in più, che i2=-1. La forma trigonometrica dei numeri complessi consente di calcolarne agevolmente anche la potenza n-esima e le radici n-esime. Tali concetti sono di fondamentale importanza per poter enunciare e dimostrare il teorema fondamentale dell’algebra, per il quale ogni equazione polinomiale di variabile complessa di ordine n, ammette n radici complesse, se contate con la loro molteplicità.
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