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Derivate I

La derivata di una funzione: definizione e regole di calcolo

Vuoi sapere tutto sul concetto di derivata prima di una funzione e sulle sue applicazioni nell’ambito del Calcolo Differenziale? A fine pagina trovi il link al formulario completo!

La definizione

Il concetto di derivata di una funzione è al centro del Calcolo Differenziale; ne abbiamo già discusso in un precedente articolo su MOV (clicca qui) su MOV. Si lega indissolubilmente al concetto di limite di funzione (clicca qui), che gioca un ruolo di primo piano fin dalla definizione; infatti una funzione f, definita in un dominio Df ed a valori reali, si dice derivabile in un punto x0∈Df se esiste finito il limite per h che tende a 0 del rapporto incrementale di f in x0:

Definizione di derivata (prima)In tal caso il numero f'(x0) si chiama derivata prima di f in x0. Se nel limite precedente si fa tendere h a 0 da sinistra (ossia da valori negativi), si ottiene la definizione di funzione derivabile da sinistra:

Definizione di derivata (prima) sinistrae di derivata sinistra di f in x0, denotata con f’(x0). Se invece si fa tendere h a 0 da destra (ossia da valori positivi), si ottiene la definizione di funzione derivabile da destra:

Definizione di derivata (prima) destrae di derivata destra di f in x0, denotata con f’+(x0). Dalle proprietà del limite di funzione segue che f è derivabile in x0 se e solo se entrambe le derivate sinistra e destra in x0 esistono e coincidono, nel qual caso il loro valore comune sarà anche il valore della derivata di f in x0:

Se le derivate sinistra e destra esistono e coincidono, esiste e coincide con esse anche la derivataLa funzione f si dice derivabile in un intervallo aperto (a,b) se ammette derivata in ogni punto di (a,b); si dice derivabile in un intervallo chiuso [a,b] se è derivabile in (a,b) ed ammette derivata destra in a e sinistra in b.

Le regole di calcolo

La funzione f’ che ad ogni punto di derivabilità di f associa il valore della derivata nel punto, si dice funzione derivata di f. Nel caso f sia somma, prodotto, quoziente, composizione di altre funzioni, f’ si può calcolare attraverso le seguenti regole di derivazione:

  • Per la somma di due funzioni, si ha:

Derivata della somma di funzioni

  • Per il prodotto di due funzioni si ha:

Derivata del prodotto di funzioni

  • Per il quoziente di due funzioni (g(x)≠0):

Derivata del quoziente di funzioni

  • Per la composizione di due funzioni (f derivabile in g(x)):

Derivata della composizione di funzioni Login / Registrati
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