La derivata di una funzione: definizione e regole di calcolo
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La definizione
Il concetto di derivata di una funzione è al centro del Calcolo Differenziale; ne abbiamo già discusso in un precedente articolo su MOV (clicca qui) su MOV. Si lega indissolubilmente al concetto di limite di funzione (clicca qui), che gioca un ruolo di primo piano fin dalla definizione; infatti una funzione f, definita in un dominio Df ed a valori reali, si dice derivabile in un punto x0∈Df se esiste finito il limite per h che tende a 0 del rapporto incrementale di f in x0:
In tal caso il numero f'(x0) si chiama derivata prima di f in x0. Se nel limite precedente si fa tendere h a 0 da sinistra (ossia da valori negativi), si ottiene la definizione di funzione derivabile da sinistra:
e di derivata sinistra di f in x0, denotata con f’–(x0). Se invece si fa tendere h a 0 da destra (ossia da valori positivi), si ottiene la definizione di funzione derivabile da destra:
e di derivata destra di f in x0, denotata con f’+(x0). Dalle proprietà del limite di funzione segue che f è derivabile in x0 se e solo se entrambe le derivate sinistra e destra in x0 esistono e coincidono, nel qual caso il loro valore comune sarà anche il valore della derivata di f in x0:
La funzione f si dice derivabile in un intervallo aperto (a,b) se ammette derivata in ogni punto di (a,b); si dice derivabile in un intervallo chiuso [a,b] se è derivabile in (a,b) ed ammette derivata destra in a e sinistra in b.
Le regole di calcolo
La funzione f’ che ad ogni punto di derivabilità di f associa il valore della derivata nel punto, si dice funzione derivata di f. Nel caso f sia somma, prodotto, quoziente, composizione di altre funzioni, f’ si può calcolare attraverso le seguenti regole di derivazione:
- Per la somma di due funzioni, si ha:
- Per il prodotto di due funzioni si ha:
- Per il quoziente di due funzioni (g(x)≠0):
- Per la composizione di due funzioni (f derivabile in g(x)):
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