Le basi del ragionamento matematico: i connettivi logici tra proposizioni
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La definizione dei connettivi logici tramite le tavole di verità
Siano p e q due proposizioni logiche, ossia due affermazione alle quali è possibile attribuire un valore di verità (V = vero, oppure F = falso). L’attribuzione può avvenire su basi oggettive o soggettive ma deve essere concettualmente sensata: ad esempio, non sono proposizioni logiche quelle interrogative o esclamative, perché ad esse non si può attribuire un valore di verità. A partire da p e q, si possono costruire altre proposizioni utilizzando dei connettivi logici, definiti attraverso le corrispondenti tavole di verità. Ad esempio:
- Congiunzione “e” (connettivo logico ∧): è definita dalla tavola di verità
- Disgiunzione “o” (connettivo logico ∨): è definita dalla tavola di verità
- Implicazione “se…allora…” (connettivo logico ⇒): è definita dalla tavola di verità
Nell’ambito della Logica matematica, è possibile combinare tra loro questi ed altri connettivi logici per costruire proposizioni più complesse, in cui valori di verità possono essere determinati – in funzione di quelli delle proposizioni elementari – applicando in sequenza le tavole di verità dei singoli connettivi coinvolti.
Le proprietà dei connettivi logici
I connettivi logici godono di numerose proprietà; ad esempio:
- Congiunzione e disgiunzione sono commutative:
- La congiunzione è distributiva rispetto alla disgiunzione (e viceversa; r è un’altra proposizione):
Queste ed altre analoghe proprietà si dimostrano provando che la tavola di verità della proposizione a primo membro, coincide con la tavola di verità della proposizione a secondo membro (formule equivalenti).
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