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Logica matematica

Le basi del ragionamento matematico: i connettivi logici tra proposizioni

Vuoi sapere tutto sui connettivi logici, sulle loro proprietà, sull’equivalenza tra formule, su tautologia e contraddizione e su altri concetti fondamentali della Logica matematica? A fine pagina trovi il link al formulario completo!

La definizione dei connettivi logici tramite le tavole di verità

Siano p e q due proposizioni logiche, ossia due affermazione alle quali è possibile attribuire un valore di verità (V = vero, oppure F = falso). L’attribuzione può avvenire su basi oggettive o soggettive ma deve essere concettualmente sensata: ad esempio, non sono proposizioni logiche quelle interrogative o esclamative, perché ad esse non si può attribuire un valore di verità. A partire da p e q, si possono costruire altre proposizioni utilizzando dei connettivi logici, definiti attraverso le corrispondenti tavole di verità. Ad esempio:

  • Congiunzione “e” (connettivo logico ): è definita dalla tavola di verità

Connettivi logici - La congiunzione

  • Disgiunzione “o” (connettivo logico ): è definita dalla tavola di verità

Connettivi logici - La disgiunzione

  • Implicazione “se…allora…” (connettivo logico ): è definita dalla tavola di verità

Connettivi logici - L'implicazioneNell’ambito della Logica matematica, è possibile combinare tra loro questi ed altri connettivi logici per costruire proposizioni più complesse, in cui valori di verità possono essere determinati – in funzione di quelli delle proposizioni elementari – applicando in sequenza le tavole di verità dei singoli connettivi coinvolti.

Le proprietà dei connettivi logici

I connettivi logici godono di numerose proprietà; ad esempio:

  • Congiunzione e disgiunzione sono commutative:

Connettivi logici - Proprietà commutativa

  • La congiunzione è distributiva rispetto alla disgiunzione (e viceversa; r è un’altra proposizione):

Connettivi logici - Proprietà distributiva

Queste ed altre analoghe proprietà si dimostrano provando che la tavola di verità della proposizione a primo membro, coincide con la tavola di verità della proposizione a secondo membro (formule equivalenti).

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