Il principio di induzione come tecnica di dimostrazione
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L’enunciato
Sia Pn una proposizione logica dipendente dal numero naturale n (ciò significa che il contenuto di Pn cambia al variare del valore di n); sia poi k un numero naturale; supponi che:
- Pk è vera (cioè la proposizione Pn è vera quando n=k);
- Pn è vera ⇒ Pn+1 è vera per ogni numero naturale n (cioè se Pn è vera per un numero naturale, allora è vera anche per il numero naturale successivo; nell’ambito di questa seconda assunzione, Pn è detta ipotesi induttiva)
Allora Pn è vera per ogni numero naturale maggiore o uguale a k.
Alcune formule dimostrabili attraverso il principio di induzione
Molte formule, in particolare uguaglianze e disuguaglianze notevoli, si possono dimostrare usando il principio di induzione. La tecnica dimostrativa consiste nel cercare un numero naturale k per il quale sia facile provare che la formula è vera (spesso k sarà uno dei primi numeri naturali, tipo 0, 1, 2, ecc.) e poi nel provare che se si dà per vera la formula al passo n, allora sarà necessariamente vera anche al passo successivo, n+1; in genere questa implicazione si dimostra scrivendo la formula al passo n+1 e “manipolandola” in modo che il suo valore di verità venga a dipendere solo dalla formula al passo n, che è vera per ipotesi induttiva. Seguono esempi:
- Somma dei primi n numeri naturali:
- Formula del binomio di Newton (a e b numeri reali):
- Disuguaglianza di Bernoulli (x numero reale maggiore di -1):
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LOGICA
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Videolezioni Principio di induzione
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