Una variabile casuale ti permette di dare una descrizione numerica degli aspetti di interesse di un fenomeno aleatorio
Una variabile casuale (o aleatoria) è un modello probabilistico per descrivere i possibili risultati di una prova o esperimento aleatorio; si potrebbe anche dire: per descrivere l’incertezza insita in un fenomeno osservato. Rispetto ad altre possibili descrizioni, quella tramite variabile casuale ha il vantaggio di selezionare solo alcuni risultati della prova – quelli di interesse rispetto al fenomeno osservato – scartandone altri; ha poi il vantaggio di essere puramente numerica, il che la rende trattabile matematicamente.
Per esempio, volendo descrivere i possibili risultati di un atleta alla finale olimpica dei 100 mt, potremmo utilizzare un continuum di valori, di tempi, diciamo compresi tra i 9 e gli 11 sec e distribuire la probabilità tra questi valori, concentrandola, magari, su quelli intorno ai 10 sec a discapito di quelli più estremi: avremmo costruito una variabile casuale continua! Se invece che al tempo fossimo interessati al piazzamento in gara, posto che alla corsa partecipino 8 atleti, potremmo utilizzare i numeri interi da 1 ad 8 ed assegnare a ciascuno di essi una probabilità, tenendo conto del potenziale del nostro atleta in rapporto ai concorrenti: avremmo costruito un’altra variabile casuale, stavolta discreta!
L’esempio illustra le due tipologie più importanti di variabili casuali. Nel caso unidimensionale, con qualche semplificazione, possiamo dire che una variabile casuale discreta è caratterizzata da un numero finito o infinito numerabile di valori, a ciascuno dei quali viene data una probabilità positiva; una variabile casuale continua, invece, è caratterizzata da un continuum di valori (ad esempio l’insieme dei numeri reali o un suo intervallo) e la probabilità viene distribuita su opportuni sottoinsiemi di tali valori, quelli più interessanti nelle applicazioni (per ragioni tecniche sulle quali, qui, sorvoliamo, i singoli valori hanno tutti probabilità 0). Nel caso discreto, lo strumento con cui si associano valori e probabilità si chiama funzione di probabilità; nel caso continuo, si chiama funzione di densità di probabilità.
Alcune variabili casuali importanti
Abbiamo parlato della variabile casuale come di un modello probabilistico. La parola “modello” è giustificata dal fatto che una variabile causale con una data struttura, può essere utilizzata per descrivere fenomeni aleatori anche molto diversi. Restiamo nel mondo dello sport: due arcieri, A e B, tirano nA=30 ed nB=38 frecce nelle rispettive gare; ad inizio gara, siamo interessati al numero di tiri che andranno a bersaglio nel cerchio centrale, quello che dà il punteggio più alto.
Per l’arciere A, il risultato – evidentemente aleatorio – si può descrivere con una variabile casuale che assume i valori interi da 0 a 30; per l’arciere B, occorrono i valori interi da 0 a 38. Come si assegnano le probabilità? Supponiamo che, per entrambi gli arcieri, la probabilità di andare a bersaglio nel cerchio centrale sia la stessa in ogni tiro, pari a PA=0,5 per l’arciere A ed a PB=0,9 per l’arciere B; supponiamo, inoltre, che l’esito di un tiro non abbia alcuna influenza sull’esito del tiro successivo. Sotto queste ipotesi (a dire il vero, non del tutto ragionevoli!) ci aspettiamo, per l’arciere A, che la probabilità si concentri maggiormente intorno ai valori centrali del range e degradi in modo simmetrico quando ci si sposta verso i valori più grandi o più piccoli; per l’arciere B, che la probabilità si concentri sui valori più grandi del range e degradi rapidamente quando ci si sposta verso valori più piccoli.
Ebbene, si può dimostrare che la variabile casuale Binomiale, di parametri n e P, accomoda entrambe le situazioni: assegnando ai parametri i valori individuati per ciascun arciere, si ottengono due descrizioni dell’esito della gara coerenti con le caratteristiche appena richiamate. La variabile casuale Binomiale è dunque un “modello” per entrambi i fenomeni aleatori, come del resto lo è per moltissimi altri fenomeni: ogni volta che ti interessa descrivere quante volte accade un evento in n circostanze indipendenti l’una dall’altra, in ciascuna delle quali l’evento ha la stessa probabilità P di verificarsi, puoi usare il modello Binomiale. Per approfondimenti, puoi guardare la videolezione:
Teoria delle Variabili casuali discrete
Altre variabili casuali discrete molto comuni sono la Poisson, l’Ipergeometrica, la Geometrica, la Binomiale negativa, tutte ampiamente trattate nella videolezione:
Complementi sulle Variabili casuali discrete
Tra le variabili casuali continue il modello più importante è certamente quello Normale o Gaussiano ed in effetti nel corso MOV di Statistica ed in particolare nella videolezione:
Teoria delle Variabili casuali continue
gli abbiamo dedicato grande attenzione. Una delle ragioni della sua popolarità è la capacità di descrivere bene molti fenomeni statistici, il che si spiega con un potente risultato – il Teorema limite centrale – secondo cui è Normale ogni fenomeno al quale tanti fattori danno, ciascuno, un piccolo contributo, in modo additivo ed indipendente. Poiché molti fenomeni economici, biologici, ingegneristici ecc hanno questa caratteristica, la Normalità è una proprietà largamente diffusa. Altri modelli importanti sono quello Uniforme, Beta, Gamma, Lognormale; questi ultimi, in particolare, vengono presentati nella videolezione:
Complementi sulle Variabili casuali continue
dove ne studiamo la funzione di densità di probabilità, il valore atteso, la varianza, l’asimmetria, la curtosi ed altre caratteristiche che tornano utili in moltissime applicazioni.
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