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Il coefficiente di correlazione lineare

Il legame tra volatilità e coefficiente di correlazione lineare in un portafoglio con 2 titoli

Investire su un titolo azionario è notoriamente rischioso ed una misura del rischio è la così detta volatilità del titolo. Investendo su un portafoglio di titoli, potresti pensare che la volatilità totale dipenda solo da quella dei singoli titoli e da quanto investi su ciascuno di essi. Invece non è così: entra in gioco un altro fattore, cioè il modo in cui i rendimenti dei titoli si influenzano l’un l’altro; viene misurato dalla correlazione lineare tra i titoli ed il suo impatto sulla volatilità generale è l’oggetto di questa nota. Qui, in particolare, esamino il caso di 2 soli titoli: la correlazione allora è misurata da un celebre indicatore statistico, il coefficiente di correlazione lineare.

Rendimento, volatilità, portafoglio

Il prezzo di un titolo azionario – la sua quotazione – oscilla in base alla domanda ed all’offerta che lo riguardano. La variazione percentuale della quotazione in una giornata di Borsa è il rendimento giornaliero del titolo: per esempio, se oggi il titolo apre a 10,00€ e chiude a 10,20€, il suo rendimento  odierno è +2%; se chiude a 9,70€, è -3%. Di norma il rendimento varia da un giorno all’altro; osservandolo su un periodo abbastanza lungo – diciamo, un anno – puoi cercare di stimarne la variabilità, per esempio calcolandone la deviazione standard. Ottieni così la volatilità giornaliera del titolo, un indicatore finanziario che spesso si interpreta come “grado di rischiosità” del titolo.

Se la volatilità è alta, il titolo è molto rischioso perché genera scarti dal rendimento medio elevati, in eccesso e in difetto, quindi un investimento nel titolo può produrre profitti marcati ma anche perdite marcate: per dire, da un titolo con rendimento medio nullo e volatilità al 4% puoi attenderti incrementi intorno al 2%, 3%, 4% ed oltre, ma anche decrementi di pari entità. Invece, profitti e perdite saranno mediamente più contenuti in caso di bassa volatilità, che perciò qualifica il titolo come poco rischioso.

Quando investi su più titoli azionari – ovvero su un portafoglio azionario – il rischio non dipende soltanto dalle volatilità dei singoli titoli, ma anche da come sono legati i rispettivi rendimenti. Come già anticipato, qui si esamina il caso più semplice, ossia un portafoglio formato da 2 soli titoli azionari. Affronterò la questione dal punto di vista teorico e poi ti proporrò un semplice esercizio numerico; per molti dettagli, algebrici e di calcolo, ti rinvio alla videolezione:

                   Esercizi sulle                    Relazioni statistiche

Il modello matematico

Siano X e Y due titoli azionari e Z un portafoglio azionario; denoto con le stesse lettere i rispettivi rendimenti giornalieri; supponi di aver formato Z investendo il q% del capitale in X ed il p=(1-q)% in Y; il valore assoluto del capitale, qui non ha alcuna importanza. I tre rendimenti sono legati dalla relazione:

Z = qX+pY

cioè il rendimento del portafoglio è una combinazione lineare dei rendimenti dei titoli, con pesi pari alle quote di capitale investito; per dire, se fosse X=6%, Y=10% e q=50%, avresti Z=8%; invece con q=40%, avresti Z=8,4%. Ora indica con SX, SY ed SZ le volatilità dei titoli e del portafoglio; ripeto che si tratta, in ciascun caso, della deviazione standard dei rendimenti; SX ed SY potresti averli stimati in base a dati storici, mentre SZ si ricava dalla relazione:

Coefficiente di correlazione - La deviazione standard dei rendimenti del portafoglio (volatilità)
che qui non dimostro. Tra gli “ingredienti” della formula, oltre a quelli già descritti, c’è ρXY, il coefficiente di correlazione lineare tra i rendimenti di X ed Y. Su MOV viene ampiamente discusso nella videolezione:

                   Teoria delle                    Relazioni statistiche

Il coefficiente di correlazione lineare misura la tendenza delle variabili X ed Y ad associarsi linearmente in modo diretto o inverso; è sempre compreso tra -1 e +1, estremi inclusi; se ρXY >0 si ha correlazione lineare positiva, ossia X ed Y tendono a muoversi lungo una retta nella stessa direzione; se ρXY <0 si ha correlazione lineare negativa, ossia X ed Y tendono a muoversi ancora lungo una retta ma in direzioni opposte; in entrambi i casi, il legame tra X ed Y è tanto più stretto quanto più il coefficiente di correlazione lineare è, in modulo, vicino ad 1 (quando è esattamente pari ad 1, si parla di correlazione lineare perfetta, positiva o negativa); infine, se ρXY =0 si ha incorrelazione lineare, il che denota l’assenza di un legame lineare tra X ed Y.

La volatilità in funzione del coefficiente di correlazione

Si può riguardare l’espressione di SZ come funzione di ρXY oppure come funzione di q. Nel primo caso, si studia come varia il rischio di portafoglio al variare della correlazione lineare tra i titoli; il legame funzionale è più chiaro se si rinominano i parametri dell’equazione:

Coefficiente di correlazione - La volatilità come funzione della correlazione tra i titoli
Si vede adesso che la volatilità del portafoglio è la radice quadrata di una funzione lineare in ρXY, a coefficienti non negativi: quindi SZ cresce al crescere di ρXY. Ciò implica che a parità del resto (cioè di SX, SY e q), il portafoglio meno rischioso, il meno volatile, è quello formato da titoli perfettamente e negativamente correlatiXY = -1), mentre quello più rischioso presenta titoli perfettamente e positivamente correlatiXY = +1); in effetti, nel primo caso si verifica che SZ=|qS– pSY|, cioè le volatilità dei singoli titoli, ponderate con le quote di capitale investito, si sottraggono; nel secondo caso invece, SZ=qS+ pSY, cioè le volatilità dei singoli titoli si sommano.

Vediamo un esempio numerico:

Coefficiente di correlazione - La volatilità in funzione della correlazione tra i titoli (esempio)

L’andamento della volatilità di Z in funzione del coefficiente di correlazione tra X ed Y, per diverse quote di investimento q nel titolo X

Supposto che la volatilità di X sia 3,01% e quella di Y sia 1,73%, sul grafico viene riportato l’andamento della volatilità di portafoglio al variare del coefficiente di correlazione lineare, per 4 possibili allocazioni del capitale tra X ed Y. Come anticipato, tale andamento è sempre crescente. E’ interessante confrontare le curve per dato ρXY, avendo come obiettivo un portafoglio a bassa volatilità: se la correlazione tra i titoli è molto negativa (per esempio, ρXY=-0,8), l’investimento su X non dovrà essere troppo alto (curve verde e blu; e questo è intuitivo, visto che X è il titolo più volatile) ma nemmeno troppo basso (curva rossa); sarà preferibile una via di mezzo (q=35%, curva azzurra). Se invece la correlazione tra i titoli è molto positiva (per esempio, ρXY=+0,9), meno denaro investi sul titolo più volatile, meglio è!

La volatilità in funzione dell’allocazione del capitale investito

Per approfondire questi ultimi aspetti, ossia come varia il rischio di portafoglio al variare dell’allocazione del capitale tra i titoli, si può riguardare SZ come funzione di q; con alcuni passaggi analitici, si arriva a questo:

Coefficiente di correlazione - La volatilità come funzione dell'allocazione del capitale
Si vede bene che SZ è la radice quadrata di una parabola in q, con concavità rivolta verso l’alto. Il vertice di questa parabola, in ascissa, è >0 se ρXY<SY/SX ed è <1 se ρXY<SX/SY; in tal caso, esiste un intervallo [0,qmin) dove SZ decresce ed un intervallo (qmin, 1] dove SZ cresce, mentre in qmin c’è il minimo di SZ; ciò significa che per valori di q troppo piccoli o troppo grandi, la volatilità di portafoglio non viene minimizzata. Nell’esempio numerico, le condizioni di cui sopra si riducono a ρXY<0,57: per valori del coefficiente di correlazione lineare minori di 0,57, è sempre necessario un investimento bilanciato, un po’ su X ed un po’ su Y; per valori maggiori di 0,57, la condizione ρXY<SY/SX viene violata ed il vertice della parabola, in ascissa, diventa negativo; ne segue che nell’intervallo [0,1] la parabola cresce sempre e quindi in tale intervallo, il valore minimo lo assume per q=0: in altri termini, occorre investire solo su Y.

La scelta del portafoglio: un esempio numerico

Per concludere, proviamo a svolgere un semplice esercizio di scelta di portafoglio:

Coefficiente di correlazione - I rendimenti di tre titoli X, Y1 ed Y2 (esempio)
La tabella riporta i rendimenti di tre titoli azionari, X, Y1 ed Y2, nell’arco di 20 giorni. Ci si chiede se sia meno rischioso il portafoglio Z1=(X,Y1) oppure Z2=(X,Y2), se il confronto dipenda da q – cioè dalla quota di capitale investita in X – e quale sia l’allocazione ottimale di capitale nel portafoglio meno volatile. Per rispondere, puoi seguire questi passi:

  • calcoli le deviazioni standard dei rendimenti dei tre titoli, cioè le loro volatilità; il risultato è 3,01% per X ed 1,73% sia per Y1 che per Y2 (i valori scelti nell’esempio numerico precedente non erano, evidentemente, casuali!). Visto che i titoli Y1 ed Y2 hanno la stessa volatilità, il confronto tra i due portafogli non dipende da q ma solo dai coefficienti di correlazione lineare;
  • calcoli il coefficiente di correlazione lineare sia tra X ed Y1 che tra X ed Y2; risulta ρXY1=0,29 e ρXY2=-0,91; per quanto detto in questa nota, il portafoglio Z2 è sempre meno volatile, meno rischioso, di Z1, qualunque sia q;
  • sostituisci nell’espressione di SZ le volatilità dei titoli X ed Y2 ed il coefficiente di correlazione lineare -0,91, ottenendo una funzione in q che poi minimizzi per via analitica o numerica; ottieni qmin=36%; dunque investendo il 36% del capitale in X ed il resto in Y2, minimizzi la volatilità del portafoglio Z2; in particolare, tale volatilità minima risulta pari allo 0,46%, un valore di gran lunga inferiore alle volatilità dei singoli titoli.

Il grafico seguente mostra l’andamento della volatilità di portafoglio al variare di q, sia per Z1 (curva blu) che per Z2 (curva verde):

Coefficiente di correlazione - La volatilità in funzione del capitale allocato

L’andamento della volatilità di Z in funzione del capitale allocato in X, per diversi valori del coefficiente di correlazione tra X ed Y

La curva blu giace sempre al di sopra della verde, a conferma del fatto che la volatilità di Z1 è sempre maggiore di quella di Z2; nota l’andamento parabolico di entrambe le curve; tale andamento si riscontra per qualsiasi valore del coefficiente di correlazione lineare, tranne quelli estremi; infatti, per ρXY=1 la curva degenera in una retta (linea azzurra) mentre per ρXY=-1 la curva degenera in una spezzata (linea rossa).


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