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Il Calcolo delle Probabilità

Il Calcolo delle Probabilità ed alcuni esempi sui limiti dell’intuizione nell’analisi dei fenomeni aleatori

Il Calcolo delle Probabilità entra in gioco quando si vuol misurare e modellare l’incertezza. Fenomeni dominati dall’incertezza sono presenti in ogni ambito, dall’Economia alla Finanza, dalla Politica alle Scienze Sociali, dalla Biologia alla Medicina, dall’Ingegneria alla Fisica; e vi è incertezza, naturalmente, nella vita quotidiana di tutti noi; che tu voglia investire in Borsa, gestire una campagna elettorale, verificare l’efficacia di un nuovo farmaco o semplicemente scegliere il percorso meno trafficato per rientrare a casa, devi fare i conti con l’incertezza.

Per gestirla al meglio, intanto bisogna saperla misurare, almeno per eventi semplici: la probabilità di un evento è appunto una misura della sua incertezza. Se poi gli eventi semplici si combinano in uno più complesso, bisogna saper dedurre la probabilità del secondo da quelle dei primi. Per esempio, se sai valutare le probabilità associate al lancio di un dado e conosci le regole del calcolo delle probabilità, potrai stabilire se, lanciando due dadi, è più probabile una somma pari a 9 o a 10; il che potrebbe esserti utile al Casinò…o all’esame di Statistica!

Gli approcci al Calcolo delle Probabilità

Storicamente si rinvengono diversi approcci al Calcolo delle Probabilità. Quello classico, sintetizzabile nella formula “casi favorevoli all’evento su casi possibili”, si applica quando i casi possibili sono in numero finito ed ugualmente probabili, ossia ugualmente incerti; pensa alla probabilità di ricevere una mano, a poker, quando le carte sono ben mescolate e dunque ugualmente probabili.

L’approccio frequentista al Calcolo delle Probabilità si applica quando il fenomeno aleatorio è replicabile a parità di condizioni; allora la probabilità di un evento si approssima con la sua “frequenza relativa in un gran numero di repliche”; per dire, potresti stimare la probabilità di “testa” nel lancio di una moneta con la sua frequenza relativa in molti lanci: se la moneta non è truccata, il risultato sarà molto vicino a 0,5.

Questi approcci non sempre sono applicabili; per esempio, nel valutare la probabilità che la Borsa domani chiuda in rialzo, non aiutano né l’approccio classico – perché le cause delle variazioni di Borsa non sono ugualmente probabili – né quello frequentista – perché i fattori di incertezza economica, finanziaria, politica, non sono replicabili. L’approccio soggettivista al Calcolo delle Probabilità cattura la natura soggettiva di questa probabilità e la sua stretta dipendenza dalle informazioni a disposizione del valutatore. Nella videolezione:

                 Complementi di                  Calcolo delle probabilità

gli approcci classico, frequentista e soggettivista al Calcolo delle Probabilità vengono commentati con il dettaglio che meritano.

Negli anni Trenta del secolo scorso, un gigante della Matematica, il russo A. N. Kolmogorov, formalizzò l’approccio assiomatico al Calcolo delle Probabilità, elevandolo al rango di “scienza matematica” e dando il via a sviluppi teorici ed applicativi tutt’oggi in corso; tale approccio, che include gli altri tre come casi particolari ed è oggi comunemente accettato, viene discusso nella videolezione:

                   Teoria del                    Calcolo delle probabilità

La discussione muove dai concetti di prova o esperimento casuale, di spazio campione, di evento, di sigma algebra di eventi e via dicendo ed approda a quello di misura di probabilità soggetta ad assiomi o postulati – detti di non negatività, normalizzazione ed additività numerabile – che accettiamo come veri in quanto (più o meno!) conformi all’idea intuitiva di “probabilità” e che permettono lo sviluppo di un vero e proprio “calcolo” delle probabilità.

Il cuore della teoria sta proprio nell’insieme di regole (proprietà, formule, teoremi), dedotte dagli assiomi, che consentono di derivare la probabilità di eventi complessi partendo dalle probabilità di eventi elementari. Alcune di queste regole, quelle più semplici ma anche più importanti, vengono discusse nella videolezione:

                   Le regole del                    Calcolo delle probabilità

Non di rado, la loro applicazione riserva sorprese, come mostrano i due esempi seguenti.

Esempio 1: il problema dei compleanni

Il primo è noto come “problema dei compleanni”: ignorando la presenza di anni bisestili (e dunque ragionando come se tutti gli anni contassero 365 giorni) ed assumendo che la probabilità di nascita sia la stessa in tutti i giorni dell’anno (non è vero, ma fingiamo che lo sia!), ci si chiede quale sia la probabilità di trovare almeno due soggetti con lo stesso compleanno in un gruppo di K soggetti. L’intuizione suggerisce che se K è piccolo rispetto a 365, la probabilità cercata sarà bassa…ma i conti dimostrano che non è proprio così!

Applicando l’approccio classico al calcolo delle probabilità, cerchiamo di contare i casi possibili – cioè le possibili sequenze di K compleanni – e quelli favorevoli all’evento – cioè le sequenze di K compleanni dove almeno due coincidono. Ci aiuta il Calcolo Combinatorio, l’area della Matematica che spiega come contare i modi in cui si possono estrarre K elementi da un totale di N (nel nostro caso, N=365). I casi possibili sono disposizioni con ripetizione di 365 giorni a gruppi di K ed il loro numero è:

Calcolo delle Probabilità - Calcolo Combinatorio
Quanto ai casi favorevoli, è più facile contare quellisfavorevoli, cioè le sequenze di K compleanni tutti distinti; tecnicamente, si tratta di disposizioni senza ripetizione di 365 giorni a gruppi di K ed il loro numero è:

Calcolo delle Probabilità - Calcolo Combinatorio
La probabilità di K compleanni tutti distinti è il rapporto tra questi due numeri:

Calcolo delle Probabilità - Calcolo Combinatorio
Applicando una formuletta elementare del calcolo delle probabilità, laregola del complementare, la probabilità di K compleanni dove almeno due coincidono – che è la negazione dell’evento precedente – è:

Calcolo delle Probabilità - Calcolo Combinatorio
Assegnando valori a K e facendo i conti, ci si accorge che già con K=23 persone, la probabilità cercata è intorno al 50%! Nota che 23 è appena il 6,3% di 365; eppure in un gruppo di 23 persone, ben 1 volta su 2 troveremo compleanni coincidenti. Con K=40 soggetti, la probabilità cercata sale all’89% circa e con K=70 raggiunge il 99,9% circa: 70 è solo il 19% di 365, ma in un gruppo di 70 soggetti siamo praticamente certi di trovare compleanni coincidenti! Un risultato davvero sorprendente e tuttavia, assolutamente corretto.

Esempio 2: una variante del Tris

Il secondo esempio è un’applicazione del Calcolo delle Probabilità al gioco del Tris; per i dettagli ti rinvio alla videolezione:

                   Esercizi di                    Calcolo delle probabilità

Immagino tu sappia come si gioca e dunque sappia che, se il tuo avversario è razionale, la tua probabilità di vincere è 0, così com’è 0 quella di perdere se anche tu sei razionale: il gioco si concluderà in pareggio. Che succede se, invece, il tuo avversario non è affatto razionale e risponde alle tue mosse sempre a caso? E’ chiaro che la tua probabilità di vittoria diventa positiva, ma quanto positiva? Chiamate a rispondere “a naso” a questa domanda, molte persone dichiarano valori intorno al 50%; in realtà, a conti fatti ci si accorge che il valore è molto maggiore e sfiora il 100%; la discrepanza suggerisce che tendiamo a sottostimare seriamente il peso della strategia dell’avversario nel determinare il risultato del gioco, che è invece assolutamente fondamentale: infatti quando viene meno, vinciamo quasi sempre!

Per farsi un’idea della soluzione, supponi di iniziare la partita ponendo il tuo segno al centro del reticolato 3 x 3 che costituisce il “campo di gara”. L’avversario ha due possibili tipologie di risposta: angolare, cioè in uno dei 4 vertici del reticolato, che denoteremo con A; oppure laterale, cioè in una delle celle adiacenti quella centrale, che denoteremo con L. Detto E l’evento “non vincere la partita”, applichiamo una delle formule più importanti del Calcolo delle Probabilità, quella delle probabilità totali, per scrivere:

Prob(E)=Prob(E|A)·Prob(A)+Prob(E|L)·Prob(L)

Poiché l’avversario tira a caso, Prob(A) = Prob(L) = 1/2. Inoltre, si vede facilmente che Prob(E|L) – cioè la probabilità di E se l’avversario risponde L – vale 0, perché in caso di risposta laterale, hai una strategia di gioco che ti conduce sempre alla vittoria, come si evince dalla figura seguente:

Calcolo delle Probabilità - Il gioco del Tris
Di fatto, quindi, Prob(E) = (1/2)∙Prob(E|A). Per calcolare Prob(E|A), osserva la prossima figura; riporta la sequenza di risposte dell’avversario che ti porta necessariamente al pareggio, anche con mosse “ottimali” da parte tua:

Calcolo delle Probabilità - Il gioco del Tris
La tua mossa ottimale allo step2 è in b1 perché così lasci all’avversario solo1 mossa su 6 per bloccarti e quella mossa, b3, non lo mette nella condizione di vincere allo step4, dove quindi potrai scegliere liberamente la tua mossa. Posto che l’avversario segni davvero in b3, la tua mossa ottimale allo step4 è in c2, per ragioni analoghe a quelle appena descritte: lasci all’avversario solo 1 mossa su 4 per bloccarti e quella mossa, a2, non lo mette nella condizione di vincere allo step6, dove avrai nuovamente libertà di scelta. Posto che l’avversario segni davvero in a2, ora la mossa sensata è in c3 (o in a1), lasciando all’avversario 1 mossa su 2 per bloccarti definitivamente e pareggiare la partita: è quello che accade se segna in a1 (o in c3). Ricapitolando, la strategia che conduce al pareggio si verifica con probabilità:

Calcolo delle Probabilità - Il gioco del Tris
Si tratta, di fatto, di un’applicazione di un’altra celebre formula del Calcolo delle Probabilità, laregola del prodotto; mettendo insieme i pezzi risulta:

Calcolo delle Probabilità - Il gioco del Tris
e quindi la probabilità di vincere (ricorda che E è l’evento opposto, cioè “non vincere”) è 95/96, cioè circa il 98,96%. Ragionamenti simili conducono a risultati analoghi quando la tua apertura, anziché al centro del reticolato, è in angolo o laterale.


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