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Soluzione #3: la formula di Bayes

Cambiare la busta o non cambiarla? L’intuito dice no, la formula di Bayes dice si!

Per rivedere il testo del problema, clicca qui. Su MOV, nelle nostre videolezioni, abbiamo discusso tutti gli strumenti di Calcolo delle Probabilità, inclusa la formula di Bayes, necessari a risolvere questo problema. Peraltro, alla soluzione si può arrivare anche applicando l’approccio “classico” alla probabilità.

                   Videolezioni                    Formula di Bayes

LA SOLUZIONE IN SINTESI

Gioca con MOV - I biglietti del concerto 1 - La formula di BayesGioca con MOV - I biglietti del concerto 2 - La formula di BayesGioca con MOV - I biglietti del concerto 3 - La formula di BayesGioca con MOV - I biglietti del concerto 4 - La formula di Bayes

LA SOLUZIONE IN DETTAGLIO

Il problema di Monty Hall

È un quesito che “sfida” l’intuizione: la risposta non è quella che tipicamente dà chi si affida all’istinto o al comune buon senso. Non è una rarità, nell’ambito del Calcolo delle Probabilità; per un paio di altri esempi, clicca qui. Si tratta di una delle tante versioni del celebre problema di Monty Hall, pseudonimo del conduttore del gioco a premi statunitense “Let’s Make a Deal” nel quale veniva proposto un quesito strutturalmente identico al nostro. Nel fumetto seguente ti propongo una soluzione informale; nel resto della nota facciamo i matematici seri (!!!) e vediamo un paio di soluzioni rigorose.

Il punto chiave è che Susy è certa che Dudy sceglierà una busta vuota. Su cosa riposi questa certezza, a dire il vero, non è chiarissimo: sull’amicizia di Dudy? Sul suo interesse per il concerto? Il testo non lo specifica: in ogni caso, Susy parte dal presupposto che Dudy non la penalizzerà e quindi non sceglierà mai la busta contenente i biglietti – impedendole, di fatto, di vincerli – nemmeno avendone la possibilità. Vediamo in che modo si utilizza questo presupposto per rispondere rigorosamente al quesito.

Primo metodo: la formula di Bayes

Il primo metodo di risoluzione che ti propongo fa leva su un celeberrimo risultato di Calcolo delle Probabilità, noto come formula di Bayes. Susy ha scelto la busta A ed ha osservato Dudy cestinare la busta B. Per decidere se cambiare la busta A con la C, ha bisogno di calcolare la probabilità dell’evento C = “i biglietti sono nella busta C”, condizionata all’evento E = “Dudy sceglie la busta B”. Dalla formula di Bayes risulta:

Formula di Bayes
Ora, P(C) – la probabilità di Ca priori, cioè prima della mossa di Dudy – è 1/3 (le buste sono 3 ed 1 sola contiene i biglietti). P(E) invece – la probabilità di E a priori – è 1/2 (prima che Dudy verifichi il contenuto delle buste B e C, la probabilità di scegliere l’una o l’altra è la stessa). Infine, P(E|C) – la verosimiglianza di E, nel linguaggio bayesiano – vale 1, perché se Susy assume che i biglietti siano nella busta C ed è certa che Dudy cestinerà una busta vuota, allora tale busta non potrà che essere la B, per cui l’evento ha probabilità 1. Sostituendo questi numeri nella formula e facendo due conti, ottieni che P(C|E) vale 2/3. A Susy quindi converrà cambiare la busta A con la C, raddoppiando in tal modo la probabilità di vincere i biglietti.

Secondo metodo: la probabilità classica

Una strada alternativa per arrivare alla risposta si basa sull’approccio classico al Calcolo delle Probabilità. La tabella seguente descrive il risultato della strategia “cambio busta” in funzione della scelta iniziale di Susy e della scelta di Dudy, nell’ipotesi che i biglietti siano nella busta A:

Susy sceglie    Dudy cestina     Risultato           
A                       B o C                   perde i biglietti
B                       C                          vince i biglietti
C                       B                          vince i biglietti

Come si vede, in 2 casi su 3 la strategia “cambio busta” porta i biglietti nelle mani di Susy. Naturalmente alla stessa conclusione si arriva cambiando l’ipotesi iniziale (biglietti in B o in C) ed esaminando i possibili scenari; nota che anche in questo approccio è determinante l’assunzione che Dudy cestini sempre una busta vuota, altrimenti la vittoria dei biglietti nel secondo e terzo scenario è tutt’altro che certa. L’approccio classico al Calcolo delle Probabilità ci dice di valutare la probabilità dell’evento “vincere con cambio busta” rapportando i casi favorevoli all’evento con quelli possibili: 2/3.

PROBLEMA #2  —  SOLUZIONE #2

PROBLEMA #4  —  SOLUZIONE #4


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