Sono affari matematici: come vincere denaro con uno studio di funzione!
Per rivedere il testo del problema, clicca qui. Su MOV, nelle nostre videolezioni, abbiamo discusso tutti gli strumenti relativi allo studio di funzione necessari a risolvere questo problema; servono anche alcune note proprietà dei logaritmi e la conoscenza del celebre numero e di Nepero.
Videolezioni Studio di funzione
LA SOLUZIONE IN SINTESI
LA SOLUZIONE IN DETTAGLIO
È un problema la cui risoluzione, se correttamente impostata, si riconduce ad un opportuno studio di funzione. In un’altra nota abbiamo parlato dell’importanza dello studio di funzione sotto il profilo didattico, come obiettivo che motiva l’introduzione dei principali concetti dell’Analisi Matematica e come “banco di prova” per la comprensione di quegli stessi concetti (clicca qui). Qui vediamo come si possa utilizzare lo studio di funzione per risolvere un problema concreto, quello che Susy ha posto a Movy.
Due variabili sono troppe!
Le somme da confrontare sono AB e BA; sembra dunque un problema in due variabili, piuttosto difficile. Applicando le proprietà del logaritmi, però, il confronto si può effettuare studiando il comportamento di una sola variabile:
AB > BA ⇔ ln(AB) > ln(BA) ⇔ B·lnA > A·lnB ⇔ (lnA)/A > (lnB)/B
Il primo passaggio è lecito perché ln(x) è una funzione crescente e perché A e B sono somme di denaro e dunque sono numeri positivi; nel secondo si applica una proprietà dei logaritmi. Il confronto sulla destra è più facile di quello sulla sinistra, perché i numeri coinvolti non sono altro che i valori della funzione f(x)=ln(x)/x, rispettivamente, in x=A ed x=B. Se f(x) dovesse avere un massimo assoluto, a Movy basterà scegliere A pari a tale massimo per ricavare dallo scambio una somma di denaro maggiore di quella di Tuty, qualunque sia B scelto da quest’ultima. Si tratta quindi di studiare il comportamento di f(x) al variare della sola variabile x: serve, come anticipato, uno studio di funzione.
Lo studio di funzione di ln(x)/x
Seguirò lo stesso approccio, gli stessi step, introdotti nelle videolezioni MOV dedicate all’argomento ed alle quali ti rinvio sia per le questioni teoriche, sia per numerosi esempi.
Dominio. Determinare il dominio è il primo passo di ogni studio di funzione. Nel caso in esame, l’esistenza di f(x) richiede x>0 (esistenza del logaritmo) ed x≠0 (denominatore non nullo); poiché la prima condizione è più restrittiva della seconda, il dominio di f(x) è il semiasse positivo delle ascisse.
Intersezioni con gli assi. Non ci sono intersezioni con l’asse delle ordinate, visto che x=0 è escluso dal dominio. C’è invece un’intersezione con l’asse delle ascisse, che si trova risolvendo l’equazione f(x)=0; ciò equivale a risolvere ln(x)=0, il che accade per x=1; quindi il grafico di f(x) incontra l’asse delle ascisse nel punto (1,0).
Segno. La disequazione f(x)>0 equivale a ln(x)>0 il che richiede x>1. Quindi f(x) è positiva (cioè il suo grafico sta sopra l’asse delle ascisse) quando x>1 ed è negativa quando 0<x<1.
Limiti. I limiti da calcolare sono due. Uno per x che tende a 0+, cioè a 0 da valori positivi; in tal caso, ln(x) tende a -∞ e tale comportamento è rafforzato dalla x a denominatore; risultato, f(x) tende a -∞. L’altro limite da calcolare è per x che tende a +∞; in tal caso, numeratore e denominatore di f(x) tendono entrambi a +∞ e quindi incappiamo in una forma indeterminata del tipo ∞/∞; nel caso specifico si esce subito dalla trappola notando che la funzione a numeratore, ln(x), è più lenta di quella a denominatore, x, quindi quest’ultima prevale ed il risultato del limite è 0. In altre parole, l’asse delle ascisse è un asintoto orizzontale di f(x) per x che tende a +∞.
Derivata prima. È forse il passo più caratteristico dello studio di funzione. Intanto, f(x) è sempre derivabile nel suo dominio, in quanto rapporto di funzioni derivabili. Applicando la regola di derivazione di un rapporto, si ricava che f'(x)=[1-ln(x)]/x2. Di fatto, f'(x)≥0 equivale a ln(x)≤1, il che accade per x≤e, dove e è il numero di Nepero che vale 2,718…Ne segue che f(x) è crescente per 0<x<e, decrescente per x>e ed ha un punto di massimo locale in x=e.
Derivata seconda. Beninteso, ai fini del problema di Susy e Movy, lo studio della derivata seconda di f(x) non ha alcuna importanza; qui lo riporto brevemente per completezza. Applicando stavolta ad f'(x) la regola di derivazione di un rapporto, si ottiene – dopo qualche semplice manipolazione – f”(x)=[2ln(x)-3]/x3. Di fatto, f”(x)≥0 equivale a ln(x)≥3/2, il che accade per x≥e3/2. Ne segue che f(x) è concava per 0<x<e3/2, convessa per x>e3/2 ed ha un punto di flesso in x=e3/2.
Mettendo insieme le informazioni ricavate in questi step ed interpretandole geometricamente sul piano cartesiano, si completa lo studio di funzione, cioè si traccia il grafico qualitativo di f(x): il risultato è la curva rossa nel box 3 del fumetto. Si vede bene che x=e è in realtà un massimo assoluto di f(x) e quindi sarà proprio questo il valore “vincente” scelto da Movy.
Vuoi preparare un esame di Matematica con MOV? Clicca sul pulsante Cosa devi studiare?, riempi il form ed inviaci il tuo programma: ti suggeriremo un piano di studio basato sui nostri strumenti didattici e calibrato sulle tue esigenze.