Studio di funzione

Là dove si “appoggia” il grafico di una funzione: gli asintoti

Vuoi sapere tutto sugli asintoti di una funzione e su tutti gli altri step necessari per tracciare il grafico di una funzione? A fine pagina trovi il link al formulario completo!

Asintoti verticali, orizzontali ed obliqui di una funzione

Lo studio di funzione – più correttamente, lo studio qualitativo del grafico di una funzione – è uno dei capisaldi dell’Analisi Matematica. Ne abbiamo già discusso in un precedente articolo su MOV (clicca qui) ed abbiamo anche visto un’applicazione (clicca qui). Conviene condurlo esaminando in successone i seguenti aspetti della funzione.

• Dominio
• Eventuali simmetrie
• Intersezioni con gli assi e segno
• Limiti agli estremi del dominio e asintoti
• Punti di discontinuità
• Dominio della derivata prima e punti di non derivabilità
• Segno della derivata prima
• Segno della derivata seconda

Ci soffermiamo sul quarto punto (nel formulario completo sono discussi tutti gli aspetti): il calcolo dei limiti agli estremi del dominio e la determinazione degli asintoti della funzione. Si distinguono tre casi.

• Se una funzione f(x) non è definita su tutta la retta reale, il suo dominio avrà uno o più punti di frontiera. Detto x₀ uno di tali punti, sarà necessario calcolare il limite di f(x) per x che tende ad x₀ (da destra e/o da sinistra). Se il risultato è infinito, la retta x = x₀ si dirà asintoto verticale di f(x).

• Se f(x) è definita in un intervallo illimitato a destra (risp., sinistra), sarà necessario calcolare il limite di f(x) per x che tende a +∞ (risp., -∞). Se il risultato è un numero reale L, la retta y = L si dirà asintoto orizzontale di f(x).

• Se, come nel caso precedente, f(x) è definita in un intervallo illimitato a destra (risp., sinistra), ma il limite di f(x) per x che tende a +∞ (risp., -∞) dà come risultato infinito, allora sarà anche necessario calcolare il limite per x che tende a +∞ (risp., -∞) del rapporto f(x)/x. Se il risultato è un numero reale m, la retta y = mx + q si dirà asintoto obliquo di f(x). Il valore di q si ottiene come limite della differenza [f(x) – mx].

Naturalmente, nello studio di funzione, i risultati analitici vanno “tradotti” in termini grafici sul piano cartesiano. Gli asintoti sono rette sulle quali il grafico di f(x) tende ad “appoggiarsi”, senza mai toccarle, quando x si avvicina agli estremi del dominio. In particolare, gli asintoti verticali sono rette parallele all’asse y, quelli orizzontali sono rette parallele all’asse x e quelli obliqui sono rette con pendenza positiva o negativa.

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