Derivate II

Risolvere limiti 0/0 oppure ∞/∞: il teorema di de l’Hopital

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Quando un limite di funzione si presenta in forma indeterminata 0/0 oppure ∞/∞ e le funzioni coinvolte sono derivabili, si può cercare di calcolare il limite utilizzando il Teorema di de l’Hopital.

• Supponiamo che il limite di f(x)/g(x), per x che tende ad un punto x₀, si presenti nella forma 0/0. Supponiamo che f(x) e g(x) siano derivabili in un intorno di x₀ (possono non essere derivabili in x₀), che g'(x) non si annulli in un intorno di x₀ (può annullarsi in x₀) e che il limite di f'(x)/g'(x), per x che tende ad x₀, esista. Il Teorema di de l’Hopital afferma che allora esiste anche il limite di f(x)/g(x) ed il suo valore coincide col limite di f'(x)/g'(x).

• Il teorema resta valido se x₀=∞ e/o il limite di f(x)/g(x) si presenta nella forma ∞/∞, senza che si debbano apportare modifiche sostanziali all’enunciato.

In pratica, il Teorema di de l’Hopital afferma che, sotto condizioni poco restrittive, si può sostituire il limite del rapporto tra funzioni derivabili – entrambe convergenti a 0, oppure entrambe divergenti – con il limite del rapporto tra le rispettive derivate, a patto che quest’ultimo limite esista. Nota che il teorema non si può invertire: l’esistenza del limite di f(x)/g(x) non garantisce quella del rapporto tra le derivate!

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